Drei Quadrate, ein Dreieck

Erklärus zeigte Liri, wie Navigatoren zwei Sterne im rechten Winkel zueinander anpeilen, um die eigene Position zu bestimmen. „Diese Methode kenne ich!", rief Liri plötzlich. „Bei uns zuhause zeichneten die Techniker immer drei Quadrate auf die Seiten einer Verstrebung, bevor sie etwas bauten – um zu prüfen, ob ein Winkel wirklich exakt 90° war."

Erklärus: „Das ist der Satz des Pythagoras – eine der berühmtesten Formeln der Mathematik. Lass uns rekonstruieren, wie er funktioniert."

📐 Nur bei rechtwinkligen Dreiecken

Bei einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die beiden kurzen Seiten Katheten (a, b) und die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel, die Hypotenuse (c).

b a c
Liri: „Wie hängen a, b und c zusammen?"
Erklärus: „Genau das sagt der Satz des Pythagoras: Das Quadrat über der Hypotenuse ist genauso groß wie die beiden Kathetenquadrate zusammen."

🔲 Der Beweis mit drei Quadraten

Zeichne auf jede Seite des rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat. Die Fläche des großen Quadrats (über c) ist exakt so groß wie die beiden kleinen Quadrate (über a und b) zusammen.

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5

a² + b² = c² → 9 + 16 = 25 – die Flächen der kleinen Quadrate ergeben zusammen die Fläche des großen.

Der Satz des Pythagoras
a² + b² = c²

Nur gültig bei rechtwinkligen Dreiecken. c = Hypotenuse (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel).

🧮 Anwendung – die fehlende Seite berechnen

Erklärus: „a=3, b=4 – wie lang ist c?"
Liri: „3² + 4² = 9+16 = 25. Und c = Wurzel aus 25 = 5!"
Erklärus: „Perfekt – das berühmte 3-4-5-Dreieck. Willst du eine Kathete berechnen, stellst du einfach um: a² = c² − b²."
Umgestellt

c = √(a²+b²)  ·  a = √(c²−b²)  ·  b = √(c²−a²)

a=6, b=8 – wie lang ist c?

🧮 Liris Pythagoras-Rechner – interaktiv

📐 Hypotenuse aus zwei Katheten
🌌 Pythagoras im Universum

Navigationssysteme (auch von Raumsonden) nutzen den Satz des Pythagoras ständig, um aus zwei senkrechten Entfernungen (z. B. Ost-West und Nord-Süd) die direkte Distanz zu berechnen.

❌ Häufiger Fehler

Der Satz gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken! Und die Hypotenuse c ist immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel – nicht irgendeine Seite.

📝 Aufgabe 1
a=5, b=12 – wie lang ist c?
📝 Aufgabe 2
c=10, a=6 – wie lang ist b? (b=√(c²−a²))
📝 Aufgabe 3
a=9, b=12 – wie lang ist c?

Der rechte Winkel bestätigt

Liri konnte jetzt selbst prüfen, ob eine Verstrebung wirklich rechtwinklig war – und trug die Methode in ihre Himmelskarte ein.

Liri: „Mit drei einfachen Zahlen kann ich prüfen, ob ein Winkel exakt 90° ist – ohne zu messen!"
Erklärus: „Genau das macht Pythagoras so mächtig. Und du erinnerst dich jetzt an noch ein Werkzeug deiner Heimat."
„Satz des Pythagoras: a²+b²=c², nur bei rechtwinkligen Dreiecken. c=Hypotenuse (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)."

Der Ort auf der Karte

Zum Schluss breitete Erklärus Liris Himmelskarte noch einmal aus. 54 Kapitel lang hatten sie Punkt für Punkt eingetragen: jede Erinnerung eine Koordinate, jede Entfernung berechnet. Drei Punkte stachen heraus – das Leuchtfeuer, die Werft und das runde Fenster.

„Prüfen wir mit Pythagoras, ob dieses Dreieck einen rechten Winkel hat", sagte er. Er rechnete – und die Quadrate über den beiden kurzen Seiten ergaben genau das Quadrat über der langen. „Ein rechter Winkel! Und am ganzen Himmel gibt es nur eine Stelle, an der drei helle Sterne so ein Dreieck bilden."

Er richtete das Fernrohr nach Westen. „Wega, Deneb und Atair – das Sommerdreieck. Es ist ungefähr rechtwinklig. Und am rechten Winkel sitzt der hellste von ihnen: Wega, im Sternbild Leier."

Wega (Leier) Deneb (Schwan) Atair (Adler) ≈ 90°

Das Sommerdreieck (schematisch, nicht maßstabsgetreu)

Liri war ganz still geworden. Sie leuchtete in einem kühlen Blauweiß.

Erklärus: „Du wusstest es. Die ganze Zeit."
Liri: „Ja. Ich bin Wega – der hellste Stern der Leier. Ich habe immer gewusst, wer ich bin. Nur den Weg zurück kannte ich nicht. Und dieses große Geheimnis wollte ich dir nicht verraten – du solltest es selbst herausfinden. Zu Hause nennen mich alle Liri. Ich habe mich so daran gewöhnt, dass es sich echter anfühlt als Wega."
Erklärus: „Und alle Erinnerungen, von denen du mir erzählt hast …"
Liri: „… waren Hinweise. Du hast jeden einzelnen richtig gelesen."
Erklärus: „Dann schauen wir uns im letzten Kapitel noch einmal alles an, was wir gemeinsam erlebt haben – bevor du nach Hause gehst."
„Das Sommerdreieck ist ungefähr rechtwinklig. Am rechten Winkel leuchtet Wega, der hellste Stern im Sternbild Leier – Liris Zuhause. Sie wusste es von Anfang an."
Was du heute gelernt hast
a² + b² = c²
Nur bei rechtwinkligen Dreiecken – c ist immer die Hypotenuse
🌟

Kapitel 54 gemeistert!

Liri kann jetzt jede fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Weiter zum großen Finale: Kapitel 55 →
Erklärus' Notizbuch – Seite 54:
„a²+b²=c² gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken. c ist immer die längste Seite."
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