Három négyzet, egy háromszög

Erklärus megmutatta Lirinek, hogyan céloz be a navigátor két csillagot egymáshoz képest derékszögben, hogy meghatározza a saját pozícióját. „Ezt a módszert ismerem!” – kiáltott fel hirtelen Liri. „Otthon a technikusok mindig három négyzetet rajzoltak egy merevítő oldalaira, mielőtt bármit is építettek volna – hogy ellenőrizzék, egy szög tényleg pontosan 90°-os-e.”

Erklärus: „Ez a Pitagorasz-tétel – a matematika egyik leghíresebb képlete. Rekonstruáljuk, hogyan működik.”

📐 Csak derékszögű háromszögeknél

Egy derékszögű háromszögnél a két rövidebb oldalt befogóknak (a, b), a leghosszabb oldalt, amely a derékszöggel szemben van, átfogónak (c) nevezzük.

b a c
Liri: „Hogyan függ össze a, b és c?”
Erklärus: „Pontosan ezt mondja ki a Pitagorasz-tétel: az átfogó fölötti négyzet pontosan akkora, mint a két befogó fölötti négyzet együttvéve.”

🔲 A bizonyítás három négyzettel

Rajzolj egy négyzetet a derékszögű háromszög minden oldalára. A nagy négyzet (c fölött) területe pontosan akkora, mint a két kis négyzet (a és b fölött) területe együttvéve.

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5

a² + b² = c² → 9 + 16 = 25 – a kis négyzetek területei együtt adják a nagy négyzet területét.

A Pitagorasz-tétel
a² + b² = c²

Csak derékszögű háromszögekre érvényes. c = átfogó (leghosszabb oldal, a derékszöggel szemben).

🧮 Alkalmazás – a hiányzó oldal kiszámítása

Erklärus: „a=3, b=4 – milyen hosszú c?”
Liri: „3² + 4² = 9+16 = 25. És c = 25 négyzetgyöke = 5!”
Erklärus: „Tökéletes – a híres 3-4-5-ös háromszög. Ha egy befogót akarsz kiszámolni, egyszerűen átrendezed: a² = c² − b².”
Átrendezve

c = √(a²+b²)  ·  a = √(c²−b²)  ·  b = √(c²−a²)

a=6, b=8 – milyen hosszú c?

🧮 Liri Pitagorasz-számológépe – interaktív

📐 Átfogó a két befogóból
🌌 Pitagorasz a világegyetemben

A navigációs rendszerek (az űrszondáké is) folyamatosan használják a Pitagorasz-tételt, hogy két merőleges távolságból (pl. kelet-nyugat és észak-dél) kiszámolják a közvetlen távolságot.

❌ Gyakori hiba

A tétel csak derékszögű háromszögekre érvényes! És a c átfogó mindig a leghosszabb oldal, a derékszöggel szemben – nem akármelyik oldal.

📝 1. feladat
a=5, b=12 – milyen hosszú c?
📝 2. feladat
c=10, a=6 – milyen hosszú b? (b=√(c²−a²))
📝 3. feladat
a=9, b=12 – milyen hosszú c?

A derékszög megerősítve

Liri most már maga is ellenőrizni tudta, hogy egy merevítő tényleg derékszögű-e – és bejegyezte a módszert a csillagtérképébe.

Liri: „Három egyszerű számmal tudom ellenőrizni, hogy egy szög pontosan 90°-os-e – mérés nélkül!”
Erklärus: „Pontosan ez teszi Pitagoraszt olyan erőssé. És most már egy újabb eszközre emlékszel az otthonodból.”
„Pitagorasz-tétel: a²+b²=c², csak derékszögű háromszögeknél. c=átfogó (leghosszabb oldal, a derékszöggel szemben).”

A hely a térképen

Végül Erklärus még egyszer kiterítette Liri csillagtérképét. 54 fejezeten át pontról pontra rajzolták be: minden emlék egy koordináta, minden távolság kiszámolva. Három pont kiütközött – a jelzőfény, az űrhajógyár és a kerek ablak.

„Nézzük meg Pitagoraszszal, hogy ennek a háromszögnek van-e derékszöge" – mondta. Számolt, és a két rövid oldal fölötti négyzetek összege pontosan kiadta a hosszú oldal fölötti négyzetet. „Derékszög! És az egész égen csak egyetlen hely van, ahol három fényes csillag ilyen háromszöget alkot."

Nyugat felé fordította a távcsövet. „Vega, Deneb és Altair – a Nyári háromszög. Nagyjából derékszögű. És a derékszögnél ül közülük a legfényesebb: a Vega, a Lant csillagképben."

Vega (Lant) Deneb (Hattyú) Altair (Sas) ≈ 90°

A Nyári háromszög (vázlatos, nem méretarányos)

Liri egészen elcsendesedett. Hűvös kékesfehér fénnyel ragyogott.

Erklärus: „Te tudtad. Végig."
Liri: „Igen. Én vagyok a Vega – a Lant legfényesebb csillaga. Mindig tudtam, ki vagyok. Csak a visszautat nem ismertem. És ezt a nagy titkot nem akartam elárulni – azt akartam, hogy magad találd ki. Otthon mindenki Lirinek hív. Annyira megszoktam, hogy igazabbnak érzem, mint a Vegát."
Erklärus: „És minden emlék, amiről meséltél…"
Liri: „…egy-egy nyom volt. Te mindegyiket helyesen olvastad."
Erklärus: „Akkor az utolsó fejezetben még egyszer átnézzük mindazt, amit együtt átéltünk – mielőtt hazamész."
„A Nyári háromszög nagyjából derékszögű. A derékszögnél ragyog a Vega, a Lant csillagkép legfényesebb csillaga – Liri otthona. Ő mindig tudta."
Amit ma megtanultál
a² + b² = c²
Csak derékszögű háromszögeknél – c mindig az átfogó
🌟

54. fejezet teljesítve!

Liri már ki tudja számolni egy derékszögű háromszög bármelyik hiányzó oldalát.

Tovább a nagy fináléra: 55. fejezet →
Erklärus jegyzetfüzete – 54. oldal:
„a²+b²=c² csak derékszögű háromszögeknél érvényes. A c mindig a leghosszabb oldal.”
← Vissza az áttekintéshez 54 – A Pitagorasz-tétel