Egy gyűrű jégből és kőből

Az ablakon át ragyogott a Szaturnusz gyűrűje – egy makulátlanul kerek sáv jégből és kőtörmelékből, amely körülöleli a bolygót. Liri hosszan nézte. „Ennek a gyűrűnek minden pontja pontosan ugyanolyan messze tűnik a Szaturnusz közepétől... pontosan úgy, mint egy kerek ablaknál, amelyet egyszer ismertem.”

Erklärus: „Ez a kör meghatározása – és te most magad fedezted fel. Rekonstruáljuk, mit tudsz még.”

⭕ Középpont, sugár és átmérő

A kör mindazon pontok halmaza, amelyek pontosan ugyanakkora távolságra vannak egy rögzített M középponttól. Ezt a távolságot r sugárnak nevezzük.

Liri: „Mint egy körző! A tűt a közepébe, és egyszer körbeforgatni.”
Erklärus: „Pontosan ez a kép. És egy egyenes vonal a középponton át, amely mindkét oldalon érinti a kört, az a d átmérő – mindig kétszer olyan hosszú, mint a sugár: d = 2 · r.”
M r d = 2r
Jelölések a körben
M középpont
Minden kör menti ponttól ugyanolyan messze
r sugár
A középpont és a szél közötti távolság
d átmérő
d = 2 · r
Sugár = 6 cm. Mekkora az átmérő?

🔢 A π titka

Liri: „Említetted a π-t. Mi az?”
Erklärus: „Mérd meg a világ bármely körénél – mindegy, mekkora – a kerületet, és oszd el az átmérővel. Mindig pontosan ugyanazt a számot kapod: π ≈ 3,14159...”
Liri: „Minden körnél ugyanaz a szám? Ezt alig hiszem el!”
Erklärus: „Mert a kerület és az átmérő mindig ugyanabban az arányban nő. A π irracionális – a tizedesjegyek sosem érnek véget, minta nélkül.”
A π szám
π ≈ 3,14159265...

π = kerület ÷ átmérő. Iskolai számításokhoz elég π ≈ 3,14.

📏 A kerület

Erklärus: „A π = K ÷ d-ből közvetlenül következik: K = π · d. És mivel d = 2r, érvényes K = 2 · π · r is.”
Képlet – kerület
K = π · d = 2 · π · r
Sugár 5 cm – mekkora a kerület? (π≈3,14, 1 tizedesjegyre)

🟡 A terület – miért van r² a körben

Liri: „A körnek nincsenek egyenes oldalai – hogyan számoljuk ki a területet?”
Erklärus: „Egy trükk: vágd fel a kört, mint egy narancsot, sok darabra, és rakd össze újra, felváltva a csúccsal felfelé és lefelé. Minél több darab, annál inkább hasonlít az eredmény egy téglalapra.”
→ π · r (= K/2) r

A „tortaszeletek” téglalapot adnak: szélessége r, hossza π·r.

Képlet – terület
T = π · r²
Sugár 5 cm – mekkora a terület? (1 tizedesjegyre)

🧮 Liri kör-számológépe – interaktív

Add meg a sugarat – a kerület és a terület azonnal megjelenik:

⭕ Kör kiszámítása
r sugár = cm
🌌 Körök a világegyetemben

A bolygók és a csillagok majdnem tökéletes gömbök – keresztmetszetük egy kör, saját gravitációjuk formálja őket. A legtöbb keringési pálya is (majdnem) kör alakú.

❌ Gyakori hiba

A sugarat és az átmérőt gyakran összekeverik! Mindig ellenőrizd: a sugár a középponttól a szélig megy, az átmérő a szélétől a széléig (a középponton át).

📝 1. feladat
Átmérő 20 cm – mekkora a sugár?
📝 2. feladat
Sugár 3 cm – mekkora a kerület? (1 tizedesjegyre)
📝 3. feladat
Sugár 4 cm – mekkora a terület? (1 tizedesjegyre)

Egy kerek ablak újra megtalálva

Liri most méretarányosan berajzolta a kerek ablakot a csillagtérképébe – pontos sugárral, kerülettel és területtel.

Liri: „Most már pontosan tudom, mekkora volt az ablakom – és fel tudom ismerni a térképen, ha meglátom.”
Erklärus: „Minden kiszámolt emlék megbízhatóbbá teszi a térképedet.”
„Kör: r=sugár, d=2r. K=π·d=2πr. T=π·r². π≈3,14159, irracionális.”
Amit ma megtanultál
T = π · r²
A kerület lineárisan nő r-rel, a terület négyzetesen nő
🌟

50. fejezet teljesítve!

Liri már ki tudja számolni bármelyik kör kerületét és területét.

Erklärus jegyzetfüzete – 50. oldal:
„A π összeköti a kerületet és az átmérőt minden körnél. K=2πr, T=πr².”
← Vissza az áttekintéshez 50 – A kör