Zwei Kurse, ein Treffpunkt

Erklärus zeichnete zwei Flugbahnen als Geraden in ein Koordinatensystem – sie kreuzten sich an genau einem Punkt. „Zwei Schiffe, die sich irgendwo treffen sollen, brauchten immer genau diese Rechnung. Erinnerst du dich?"

Liri: „Ja! Man musste beide Kurse gleichzeitig lösen, um den Treffpunkt zu finden."
Erklärus: „Genau das ist ein lineares Gleichungssystem. Lass uns die Verfahren dafür üben."

📐 Grafische Lösung – der Schnittpunkt

Zeichnest du beide Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem, ist ihr Schnittpunkt (x|y) die Lösung des Systems.

Lösung (x|y)
Erklärus: „Der Schnittpunkt ist der einzige Punkt, der auf BEIDEN Geraden gleichzeitig liegt – genau das bedeutet, beide Gleichungen gleichzeitig zu erfüllen."

🔄 Das Gleichsetzungsverfahren

Löse beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setze die Ausdrücke gleich.

📐 Beispiel: y=2x+1 und y=x+3

Beide nach y aufgelöst, also gleichsetzen: 2x+1 = x+3
x = 2, eingesetzt: y = 2·2+1 = 5
Lösung: (2|5)

➡️ Das Einsetzungsverfahren

Löse eine Gleichung nach einer Variable auf und setze diesen Term in die andere Gleichung ein.

📐 Beispiel: y=x+1 und 2x+y=7

y=x+1 in die zweite Gleichung einsetzen: 2x+(x+1)=7
3x+1=7 → x=2, eingesetzt: y=2+1=3
Lösung: (2|3)

➕ Das Additionsverfahren

Multipliziere die Gleichungen so, dass beim Addieren eine Variable wegfällt.

📐 Beispiel: x+y=5 und x−y=1

Beide Gleichungen addieren: 2x = 6 → x=3
eingesetzt in x+y=5: y=2
Lösung: (3|2)

x+y=10 und x−y=2 – wie groß ist x? (Additionsverfahren)

🧮 Liris LGS-Rechner – interaktiv

Gib zwei Geraden der Form y=mx+b ein – der Schnittpunkt erscheint automatisch:

📈 Schnittpunkt zweier Geraden
Gerade 1: m₁= b₁=
Gerade 2: m₂= b₂=
🌌 Gleichungssysteme im Universum

Missionskontrollen lösen ständig Gleichungssysteme, um zu berechnen, wann und wo sich zwei Flugbahnen treffen – etwa beim Andocken zweier Raumschiffe.

❌ Häufiger Fehler

Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, sind sie parallel – dann gibt es keine Lösung (kein Schnittpunkt)!

📝 Aufgabe 1
y=x+2 und y=3x−2 – wie groß ist x im Schnittpunkt? (Gleichsetzungsverfahren)
📝 Aufgabe 2
x+y=8 und x−y=4 – wie groß ist x? (Additionsverfahren)
📝 Aufgabe 3
y=2x und x+y=9 – wie groß ist x? (Einsetzungsverfahren)

Der Treffpunkt gefunden

Liri berechnete jetzt den exakten Treffpunkt zweier Kurse und trug ihn in ihre Himmelskarte ein.

Liri: „Drei verschiedene Wege, aber alle führen zum selben Treffpunkt. Jetzt kann ich jede Route mit einer anderen kreuzen."
„LGS lösen: Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren. Grafisch: Schnittpunkt zweier Geraden. Gleiche Steigung = keine Lösung."
Was du heute gelernt hast
Schnittpunkt (x|y)
Gleichsetzen · Einsetzen · Addieren – drei Wege, dieselbe Lösung
🌟

Kapitel 49 gemeistert!

Liri kann jetzt lineare Gleichungssysteme mit drei Verfahren lösen.

Erklärus' Notizbuch – Seite 49:
„Gleichsetzen, Einsetzen, Addieren – alle drei führen zum selben Schnittpunkt."
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