Két útvonal, egy találkozási pont

Erklärus két repülési pályát rajzolt egyenesként egy koordináta-rendszerbe – pontosan egy pontban metszették egymást. „Két hajónak, amelyeknek valahol találkozniuk kell, mindig pontosan erre a számításra volt szükségük. Emlékszel?”

Liri: „Igen! Mindkét útvonalat egyszerre kellett megoldani, hogy megtaláljuk a találkozási pontot.”
Erklärus: „Pontosan ez egy lineáris egyenletrendszer. Gyakoroljuk az ehhez tartozó eljárásokat.”

📐 Grafikus megoldás – a metszéspont

Ha mindkét egyenletet egyenesként rajzolod be egy koordináta-rendszerbe, a metszéspontjuk (x|y) a rendszer megoldása.

Megoldás (x|y)
Erklärus: „A metszéspont az egyetlen pont, amely MINDKÉT egyenesen egyszerre rajta van – pontosan ezt jelenti mindkét egyenlet egyidejű teljesítése.”

🔄 Az egyenlővé tételi eljárás

Oldd meg mindkét egyenletet ugyanarra a változóra, és tedd egyenlővé a kifejezéseket.

📐 Példa: y=2x+1 és y=x+3

Mindkettő y-ra megoldva, tehát egyenlővé tesszük: 2x+1 = x+3
x = 2, behelyettesítve: y = 2·2+1 = 5
Megoldás: (2|5)

➡️ A behelyettesítési eljárás

Oldd meg az egyik egyenletet egy változóra, és helyettesítsd be ezt a kifejezést a másik egyenletbe.

📐 Példa: y=x+1 és 2x+y=7

Az y=x+1-et behelyettesítjük a második egyenletbe: 2x+(x+1)=7
3x+1=7 → x=2, behelyettesítve: y=2+1=3
Megoldás: (2|3)

➕ Az összeadási eljárás

Szorozd meg az egyenleteket úgy, hogy összeadáskor egy változó kiessen.

📐 Példa: x+y=5 és x−y=1

A két egyenletet összeadva: 2x = 6 → x=3
behelyettesítve x+y=5-be: y=2
Megoldás: (3|2)

x+y=10 és x−y=2 – mekkora x? (összeadási eljárás)

🧮 Liri egyenletrendszer-számológépe – interaktív

Adj meg két y=mx+b alakú egyenest – a metszéspont automatikusan megjelenik:

📈 Két egyenes metszéspontja
1. egyenes: m₁= b₁=
2. egyenes: m₂= b₂=
🌌 Egyenletrendszerek a világegyetemben

Az irányítóközpontok folyamatosan egyenletrendszereket oldanak meg, hogy kiszámolják, mikor és hol találkozik két repülési pálya – például két űrhajó dokkolásakor.

❌ Gyakori hiba

Ha két egyenesnek ugyanaz a meredeksége, párhuzamosak – ekkor nincs megoldás (nincs metszéspont)!

📝 1. feladat
y=x+2 és y=3x−2 – mekkora x a metszéspontban? (egyenlővé tételi eljárás)
📝 2. feladat
x+y=8 és x−y=4 – mekkora x? (összeadási eljárás)
📝 3. feladat
y=2x és x+y=9 – mekkora x? (behelyettesítési eljárás)

A találkozási pont megtalálva

Liri most kiszámolta két útvonal pontos találkozási pontját, és bejegyezte a csillagtérképébe.

Liri: „Három különböző út, de mindegyik ugyanahhoz a találkozási ponthoz vezet. Most már bármelyik útvonalat össze tudom kötni egy másikkal.”
„Egyenletrendszer megoldása: egyenlővé tételi, behelyettesítési vagy összeadási eljárás. Grafikusan: két egyenes metszéspontja. Azonos meredekség = nincs megoldás.”
Amit ma megtanultál
Metszéspont (x|y)
Egyenlővé tenni · behelyettesíteni · összeadni – három út, ugyanaz a megoldás
🌟

49. fejezet teljesítve!

Liri már három eljárással tud lineáris egyenletrendszereket megoldani.

Erklärus jegyzetfüzete – 49. oldal:
„Egyenlővé tenni, behelyettesíteni, összeadni – mindhárom ugyanahhoz a metszésponthoz vezet.”
← Vissza az áttekintéshez 49 – Lineáris egyenletrendszerek