Eine Formel für eine gerade Linie

Liri hatte gelernt, einzelne Punkte einzutragen. Aber jetzt wollte sie eine ganze gerade Flugbahn beschreiben – nicht nur einen Punkt.

Erklärus: „Dafür gibt es lineare Funktionen. Eine einzige Formel beschreibt eine ganze gerade Linie."

📈 y = mx + b – jede Zahl hat eine Bedeutung

Die Formel hat genau zwei Stellschrauben: m und b. Jede von ihnen steuert einen ganz bestimmten Teil der Geraden.

y = m x + b Steigung – wie steil? y-Achsenabschnitt – wo?
m – die Steigung
Erklärus: „Was passiert, wenn x um 1 größer wird? y ändert sich um m – das ist die Steigung."
Liri: „Also bedeutet m=2: für jeden Schritt nach rechts geht die Gerade 2 nach oben. Und m=−1 heißt, sie fällt um 1?"
Erklärus: „Genau. Und m=0? Dann ändert sich y nie – die Gerade ist waagrecht."
m > 0
steigend ↗
m < 0
fallend ↘
m = 0
waagrecht →
|m| groß
steil ↑
b – der y-Achsenabschnitt
Erklärus: „Wo schneidet die Gerade die y-Achse? Setze x=0 ein: y = m·0 + b = b. Der y-Achsenabschnitt ist einfach b."
Liri: „Also bedeutet b=3: die Gerade startet bei y=3 auf der y-Achse, egal wie steil sie ist?"
Erklärus: „Genau. Und b=0 heißt: die Gerade geht durch den Ursprung (0|0)."

x=0 einsetzen → y=b → Schnittpunkt (0 | b)

Funktion y = 3x + 2 – wie groß ist y bei x=4?

📊 Eine Gerade zeichnen – zwei Punkte genügen

Um eine Gerade zu zeichnen, brauchst du nur zwei Punkte. Dann ziehst du die Linie durch sie hindurch – fertig.

Erklärus: „Zeichne y = 2x + 1. Welche zwei Punkte wählst du?"
Liri: „Ich nehme x=0 und x=3. Für x=0: y=2·0+1=1 → Punkt (0|1). Für x=3: y=2·3+1=7 → Punkt (3|7). Beide einzeichnen, Linie ziehen – fertig!"

Wertetabelle für y = 2x + 1

x
−2
−1
0
1
y
−3
−1
1
3

Steigung m=2: y wächst gleichmäßig um 2 für jedes x um 1 → das ergibt eine Gerade ✓

b=1 y=2x+1

🧮 Liris Funktionsplotter – interaktiv

Verändere m und b und beobachte, wie sich die Gerade verändert – der schnellste Weg zum Verstehen:

📈 Lineare Funktion – y = mx + b
m = b =
y = 2x + 1

📍 Nullstelle – wo kreuzt die Gerade die x-Achse?

Die Nullstelle ist der Punkt, wo die Gerade die x-Achse schneidet – dort ist y = 0. Du findest sie, indem du y=0 setzt und nach x auflöst.

Liri: „Nullstelle von y=2x+1? Ich setze y=0: 0=2x+1. Das ist eine Gleichung! Minus 1: −1=2x. Geteilt durch 2: x=−0,5."
Erklärus: „Die Gerade schneidet die x-Achse bei x=−0,5. Und siehst du, was du gerade getan hast? Du hast eine Gleichung gelöst – genau wie in Kapitel 43. Algebra und Geometrie sind eng verwandt."
📍 Wichtige Punkte einer Geraden
y-Achsenabschnitt: x=0 einsetzen → y=b → Punkt (0 | b)
Nullstelle: y=0 setzen → 0=mx+b → x = −b ÷ m
Steigung ablesen: m = Δy ÷ Δx
Nullstelle von y = 4x − 8: x =
🌌 Lineare Funktionen im Universum

Die Höhe einer Rakete während des gleichmäßigen Steigflugs lässt sich oft mit einer linearen Funktion beschreiben: Höhe = Geschwindigkeit · Zeit.
Ingenieure nutzen solche Funktionen, um vorauszusagen, wo sich ein Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet.

❌ Häufiger Fehler

Steigung (m) und y-Achsenabschnitt (b) werden oft vertauscht!

Tipp: b ist der Startwert bei x=0 (wo die Linie die y-Achse trifft). m sagt, wie steil es danach bergauf oder bergab geht.

📈 Aufgabe 1
Funktion: y = 4x + 3. Wie groß ist y bei x=2?
📊 Aufgabe 2
Bei der Funktion y = 5x - 2: welchen y-Wert hat die Funktion bei x=0?
🚀 Aufgabe 3 – Universum
Eine Rakete steigt mit y = 50x (Höhe = 50 · Zeit). Wie hoch ist sie nach x=6 Sekunden?

Eine ganze Linie, eine einzige Formel

Liri beschrieb ihre gesamte gerade Flugbahn mit einer einzigen Funktionsgleichung – jeder Punkt der Reise steckte jetzt in einer einzigen Formel.

Liri: „Ich brauche nicht mehr jeden Punkt einzeln – eine Formel beschreibt meinen ganzen Kurs."
„Lineare Funktion: y = mx + b. m = Steigung, b = y-Achsenabschnitt (Startwert bei x=0). Der Graph ist immer eine gerade Linie."
Was du heute gelernt hast
y = mx + b
m = Steigung · b = y-Achsenabschnitt
🌟

Kapitel 47 gemeistert!

Liri kann jetzt eine ganze gerade Flugbahn mit einer einzigen Formel beschreiben.

Erklärus' Notizbuch – Seite 47:
„Lineare Funktion: y=mx+b. m=Steigung (wie steil), b=y-Achsenabschnitt (Startwert bei x=0). Der Graph ist immer eine Gerade."
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