Egy képlet egy egyenes vonalhoz

Liri megtanulta egyenkénti pontok berajzolását. De most egy egész egyenes repülési pályát akart leírni – nem csak egy pontot.

Erklärus: „Erre valók a lineáris függvények. Egyetlen képlet egy egész egyenes vonalat ír le.”

📈 y = mx + b – minden számnak jelentése van

A képletnek pontosan két szabályozója van: m és b. Mindegyik az egyenes egy egészen meghatározott részét irányítja.

y = m x + b Meredekség – milyen meredek? y-tengelymetszet – hol?
m – a meredekség
Erklärus: „Mi történik, ha x 1-gyel nagyobb lesz? Az y m-mel változik – ez a meredekség.”
Liri: „Tehát az m=2 azt jelenti: minden jobbra lépésnél az egyenes 2-vel feljebb megy. És az m=−1 azt, hogy 1-gyel lejjebb esik?”
Erklärus: „Pontosan. És m=0? Akkor y sosem változik – az egyenes vízszintes.”
m > 0
emelkedő ↗
m < 0
csökkenő ↘
m = 0
vízszintes →
|m| nagy
meredek ↑
b – az y-tengelymetszet
Erklärus: „Hol metszi az egyenes az y-tengelyt? Helyettesíts be x=0-t: y = m·0 + b = b. Az y-tengelymetszet egyszerűen b.”
Liri: „Tehát a b=3 azt jelenti: az egyenes y=3-nál indul az y-tengelyen, mindegy, milyen meredek?”
Erklärus: „Pontosan. És a b=0 azt jelenti: az egyenes átmegy a kezdőponton (0|0).”

x=0 behelyettesítve → y=b → metszéspont (0 | b)

A y = 3x + 2 függvénynél – mennyi y, ha x=4?

📊 Egyenes rajzolása – két pont elég

Egy egyenes rajzolásához csak két pontra van szükséged. Aztán áthúzod rajtuk a vonalat – kész.

Erklärus: „Rajzold meg: y = 2x + 1. Melyik két pontot választod?”
Liri: „Veszem x=0-t és x=3-at. x=0-nál: y=2·0+1=1 → (0|1) pont. x=3-nál: y=2·3+1=7 → (3|7) pont. Mindkettőt berajzolni, vonalat húzni – kész!”

Értéktáblázat: y = 2x + 1

x
−2
−1
0
1
y
−3
−1
1
3

Meredekség m=2: y egyenletesen 2-vel nő minden x+1-nél → ez egyenest ad ✓

b=1 y=2x+1

🧮 Liri függvényábrázolója – interaktív

Változtasd m-et és b-t, és figyeld, hogyan változik az egyenes – ez a leggyorsabb út a megértéshez:

📈 Lineáris függvény – y = mx + b
m = b =
y = 2x + 1

📍 Zérushely – hol metszi az egyenes az x-tengelyt?

A zérushely az a pont, ahol az egyenes metszi az x-tengelyt – ott y = 0. Úgy találod meg, hogy y=0-t helyettesítesz be, és x-re megoldod.

Liri: „Az y=2x+1 zérushelye? Behelyettesítem y=0-t: 0=2x+1. Ez egy egyenlet! Mínusz 1: −1=2x. Elosztva 2-vel: x=−0,5.”
Erklärus: „Az egyenes x=−0,5-nél metszi az x-tengelyt. És látod, mit tettél most? Megoldottál egy egyenletet – pontosan úgy, mint a 43. fejezetben. Az algebra és a geometria szorosan összefüggenek.”
📍 Egy egyenes fontos pontjai
y-tengelymetszet: x=0 behelyettesítve → y=b → pont (0 | b)
Zérushely: y=0 behelyettesítve → 0=mx+b → x = −b ÷ m
Meredekség leolvasása: m = Δy ÷ Δx
A y = 4x − 8 zérushelye: x =
🌌 Lineáris függvények a világegyetemben

Egy rakéta magassága az egyenletes emelkedés közben gyakran leírható lineáris függvénnyel: magasság = sebesség · idő.
A mérnökök ilyen függvényeket használnak, hogy megjósolják, hol lesz egy tárgy egy adott időpontban.

❌ Gyakori hiba

A meredekséget (m) és az y-tengelymetszetet (b) gyakran felcserélik!

Tipp: b a kezdőérték x=0-nál (ahol a vonal eléri az y-tengelyt). m azt mondja meg, milyen meredeken megy fel vagy le utána.

📈 1. feladat
Függvény: y = 4x + 3. Mennyi y, ha x=2?
📊 2. feladat
A y = 5x - 2 függvénynél: milyen y-értéke van a függvénynek x=0-nál?
🚀 3. feladat – Világegyetem
Egy rakéta y = 50x szerint emelkedik (magasság = 50 · idő). Milyen magasan van x=6 másodperc után?

Egy egész vonal, egyetlen képlet

Liri az egész egyenes repülési pályáját egyetlen függvényegyenlettel írta le – az utazás minden pontja most egyetlen képletben rejlett.

Liri: „Már nincs szükségem minden pontra egyenként – egy képlet leírja az egész útvonalamat.”
„Lineáris függvény: y = mx + b. m = meredekség, b = y-tengelymetszet (kezdőérték x=0-nál). A grafikon mindig egyenes vonal.”
Amit ma megtanultál
y = mx + b
m = meredekség · b = y-tengelymetszet
🌟

47. fejezet teljesítve!

Liri már egy egész egyenes repülési pályát le tud írni egyetlen képlettel.

Erklärus jegyzetfüzete – 47. oldal:
„Lineáris függvény: y=mx+b. m=meredekség (milyen meredek), b=y-tengelymetszet (kezdőérték x=0-nál). A grafikon mindig egyenes.”
← Vissza az áttekintéshez 47 – Lineáris függvények