Eine Klammer, zweimal genommen

Liri fand eine alte Sternenkarten-Skizze: ein quadratisches Suchgebiet, dessen Seite aus zwei Teilstrecken bestand – (x + 3)². „Ist das nicht einfach x² + 3²?"

Erklärus: „Ein sehr häufiger Fehler! (x+3)² heißt (x+3)·(x+3) – die ganze Klammer wird zweimal genommen, nicht nur jede Zahl einzeln quadriert. Lass es uns Feld für Feld sehen, dann wird es sofort klar – und vielleicht hilft uns das quadratische Suchgebiet sogar, dein Zuhause einzugrenzen."

➕ Erste binomische Formel – die Plus-Formel

Stell dir (a+b)² als die Fläche eines Quadrats vor, dessen Seite a+b lang ist.

a² ab ab b² a b a b
Liri: „Ich sehe vier Felder: ein a², zwei ab-Felder und ein b². Zusammen: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²!"
Erklärus: „Genau das ist die Formel. Die beiden ab-Felder sind der Grund, warum in der Mitte 2ab steht – nicht nur ab."
1. Binomische Formel

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Beispiel: (x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9

Löse: (x+5)² = x² + ?x + 25
Liri: „Wenn ich die Seitenlänge meines Suchgebiets kenne, kann ich mit dieser Formel sofort die ganze Fläche berechnen – ohne alles einzeln auszumessen!"

➖ Zweite binomische Formel – die Minus-Formel

Erklärus: „Bei (a−b)² gehen wir vom großen Quadrat a² aus und schneiden zweimal einen Streifen der Breite b ab."
(a−b)² −ab −ab +b²
Liri: „Ich schneide oben einen Streifen ab (−ab) und rechts einen Streifen ab (−ab). Aber die Ecke oben rechts hab ich dabei zweimal weggenommen!"
Erklärus: „Genau erkannt – deshalb zählt man dieses Eckstück (b²) einmal wieder dazu. a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². Übrig bleibt genau das goldene Quadrat: (a−b)²."
2. Binomische Formel

(a−b)² = a² − 2ab + b²

Beispiel: (x−5)² = x² − 2·x·5 + 5² = x² − 10x + 25

Liri: „Das b² bleibt also immer plus, egal ob vorne ein Plus oder Minus steht?"
Erklärus: „Genau – Minus mal Minus ergibt Plus. Nur der mittlere Term 2ab übernimmt das Vorzeichen."
Löse: (x−4)² = x² − ?x + 16

✖️ Dritte binomische Formel – Plus mal Minus

Erklärus: „Auch diese Formel kann man sehen. Nimm ein Quadrat a² und schneide eine kleine Ecke b² heraus – übrig bleibt eine L-Form. Diese L-Form lässt sich zu einem Rechteck umlegen."
a² minus b² (L-Form) b² a²−b² = Rechteck (a+b)·(a−b) a+b a−b
Liri: „Die L-Form und das Rechteck haben also genau dieselbe Fläche, nur anders angeordnet?"
Erklärus: „Exakt – kein Stück geht verloren, keins kommt dazu. Nur umgelegt. Und genau deshalb gilt: a² − b² = (a+b)·(a−b)."
🧠 Warum verschwindet der mittlere Term?

(a+b)(a−b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

−ab und +ab sind entgegengesetzt gleich groß – sie löschen sich aus.

3. Binomische Formel

(a+b)(a−b) = a² − b²

Beispiel: (x+4)(x−4) = x² − 16

Löse: (x+6)(x−6) = x² − ?

🔄 Rückwärts – vom Ergebnis zur Klammer

Die Formeln funktionieren auch rückwärts: aus a² − b² kannst du sofort wieder (a+b)(a−b) machen.

Erklärus: „Siehst du x² − 9, erkenne sofort: 9 = 3², also ist das (x+3)(x−3). Das hilft dir später enorm beim Kürzen von Brüchen."
Liri: „Dafür muss ich die Quadratzahlen gut kennen – 1, 4, 9, 16, 25..."
Erklärus: „Genau. Wer 12² = 144 sofort erkennt, findet die Klammer im Kopf."
Faktorisiere: x² − 25 = (x+5)(x−?)
🌌 Binomische Formeln im Universum

Wenn Astronomen die Flächen von Sternenkarten-Ausschnitten berechnen, die aus zusammengesetzten Quadraten bestehen, nutzen sie genau dieses Aufteilungsprinzip.
Auch in der Physik tauchen Ausdrücke wie (v+w)² auf, wenn sich zwei Geschwindigkeiten addieren – dieselbe Formel, andere Buchstaben.

❌ Häufiger Fehler

(a+b)² ist nicht a² + b²! Der mittlere Term 2ab wird oft vergessen. Merke: (a+b)² = a² + 2ab + b² – nie ohne den mittleren Term.

📝 Aufgabe 1
Löse: (x+2)² = x² + 4x + ?
📝 Aufgabe 2
Löse: (x−7)² = x² − 14x + ?
📝 Aufgabe 3
Faktorisiere: x² − 64 = (x+8)(x−?)

Drei Formeln, ein Bild im Kopf

Liri musste sich keine drei Formeln mehr auswendig einprägen – sie sah einfach das geteilte Quadrat vor sich. Und mit der berechneten Fläche konnte sie ihr Suchgebiet endlich eingrenzen.

Liri: „Mit den binomischen Formeln kann ich riesige quadratische Suchgebiete blitzschnell berechnen – oder aus einer bekannten Fläche sofort auf die Seitenlängen zurückrechnen. Das bringt mich meinem Zuhause ein ganzes Stück näher."
Erklärus: „Genau so arbeiten echte Kartografen: Sie zerlegen große, unübersichtliche Flächen in einfache Quadrate und Rechtecke. Wer das kann, verliert sich nicht in komplizierten Karten – und findet leichter den Weg zurück."
Liri: „Ich muss nicht auswendig lernen, wenn ich verstehe, warum es so ist."
„(a+b)²=a²+2ab+b². (a−b)²=a²−2ab+b². (a+b)(a−b)=a²−b². Immer die ganze Klammer zweimal nehmen, nie nur einzeln quadrieren."
Was du heute gelernt hast
(a+b)²=a²+2ab+b²
Drei binomische Formeln – vorwärts und rückwärts anwendbar
🌟

Kapitel 46 gemeistert!

Liri kann jetzt Klammern in beide Richtungen sicher auflösen.

Erklärus' Notizbuch – Seite 46:
„Binomische Formeln als Struktur merken, nicht als Buchstaben: (Erstes+Zweites)²=Erstes²+2·Erstes·Zweites+Zweites². So erkennt man sie auch mit anderen Variablen wieder."
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