Egy zárójel, kétszer véve

Liri talált egy régi csillagtérkép-vázlatot: egy négyzet alakú keresési területet, amelynek oldala két részszakaszból állt – (x + 3)². „Ez nem egyszerűen x² + 3²?”

Erklärus: „Egy nagyon gyakori hiba! (x+3)² azt jelenti: (x+3)·(x+3) – az egész zárójelet vesszük kétszer, nem csak minden számot külön-külön négyzetre emelünk. Nézzük meg mezőnként, akkor rögtön világos lesz – és talán a négyzet alakú keresési terület segít behatárolni az otthonodat.”

➕ Első nevezetes azonosság – a plusz-képlet

Képzeld el (a+b)²-et egy olyan négyzet területeként, amelynek oldala a+b hosszú.

a² ab ab b² a b a b
Liri: „Négy mezőt látok: egy a²-et, két ab-mezőt és egy b²-et. Együtt: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²!”
Erklärus: „Pontosan ez a képlet. A két ab-mező az oka annak, hogy a közepén 2ab áll – nem csak ab.”
1. nevezetes azonosság

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Példa: (x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9

Oldd meg: (x+5)² = x² + ?x + 25
Liri: „Ha ismerem a keresési területem oldalhosszát, ezzel a képlettel azonnal ki tudom számolni az egész területet – anélkül hogy mindent egyenként kellene megmérnem!”

➖ Második nevezetes azonosság – a mínusz-képlet

Erklärus: „Az (a−b)²-nél az a² nagy négyzetből indulunk ki, és kétszer levágunk egy b szélességű csíkot.”
(a−b)² −ab −ab +b²
Liri: „Fent levágok egy csíkot (−ab), jobbra pedig egy másikat (−ab). De a jobb felső sarkot eközben kétszer vettem el!”
Erklärus: „Pontosan felismerted – ezért ezt a sarokdarabot (b²) egyszer visszaadjuk. a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b². Pontosan az arany négyzet marad: (a−b)².”
2. nevezetes azonosság

(a−b)² = a² − 2ab + b²

Példa: (x−5)² = x² − 2·x·5 + 5² = x² − 10x + 25

Liri: „Tehát a b² mindig plusz marad, mindegy, hogy elöl plusz vagy mínusz áll?”
Erklärus: „Pontosan – mínusz szorozva mínusz az plusz. Csak a középső tag, 2ab veszi át az előjelet.”
Oldd meg: (x−4)² = x² − ?x + 16

✖️ Harmadik nevezetes azonosság – plusz szorozva mínusszal

Erklärus: „Ezt a képletet is lehet látni. Vegyél egy a² négyzetet, és vágj ki belőle egy kis b² sarkot – egy L-forma marad. Ez az L-forma téglalappá alakítható át.”
a² mínusz b² (L-forma) b² a²−b² = Téglalap (a+b)·(a−b) a+b a−b
Liri: „Tehát az L-forma és a téglalap területe pontosan ugyanakkora, csak másképp elrendezve?”
Erklärus: „Pontosan – egyetlen darab sem vész el, egy sem kerül hozzá. Csak átrendeztük. És pontosan ezért érvényes: a² − b² = (a+b)·(a−b).”
🧠 Miért tűnik el a középső tag?

(a+b)(a−b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

A −ab és a +ab ellentétesen egyforma nagyok – kioltják egymást.

3. nevezetes azonosság

(a+b)(a−b) = a² − b²

Példa: (x+4)(x−4) = x² − 16

Oldd meg: (x+6)(x−6) = x² − ?

🔄 Visszafelé – az eredménytől a zárójelig

A képletek visszafelé is működnek: a² − b²-ből azonnal vissza tudod alakítani (a+b)(a−b)-vé.

Erklärus: „Ha látod az x² − 9-et, azonnal ismerd fel: 9 = 3², tehát ez (x+3)(x−3). Ez később óriási segítség lesz a törtek egyszerűsítésénél.”
Liri: „Ehhez jól kell ismernem a négyzetszámokat – 1, 4, 9, 16, 25...”
Erklärus: „Pontosan. Aki azonnal felismeri, hogy 12² = 144, fejben megtalálja a zárójelet.”
Alakítsd szorzattá: x² − 25 = (x+5)(x−?)
🌌 Nevezetes azonosságok a világegyetemben

Amikor a csillagászok összetett négyzetekből álló csillagtérkép-részletek területét számolják, pontosan ezt a felosztási elvet használják.
A fizikában is megjelennek olyan kifejezések, mint (v+w)², amikor két sebesség összeadódik – ugyanaz a képlet, más betűk.

❌ Gyakori hiba

Az (a+b)² nem a² + b²! A középső tagot, a 2ab-t gyakran elfelejtik. Jegyezd meg: (a+b)² = a² + 2ab + b² – sosem a középső tag nélkül.

📝 1. feladat
Oldd meg: (x+2)² = x² + 4x + ?
📝 2. feladat
Oldd meg: (x−7)² = x² − 14x + ?
📝 3. feladat
Alakítsd szorzattá: x² − 64 = (x+8)(x−?)

Három képlet, egy kép a fejben

Lirinek már nem kellett három képletet bemagolnia – egyszerűen látta maga előtt a felosztott négyzetet. És a kiszámolt területtel végre be tudta határolni a keresési területét.

Liri: „A nevezetes azonosságokkal villámgyorsan ki tudom számolni az óriási négyzet alakú keresési területeket – vagy egy ismert területből azonnal vissza tudom számolni az oldalhosszakat. Ez egy jó nagy lépéssel közelebb visz az otthonomhoz.”
Erklärus: „Pontosan így dolgoznak a valódi térképészek: a nagy, áttekinthetetlen területeket egyszerű négyzetekre és téglalapokra bontják. Aki ezt tudja, nem vész el a bonyolult térképekben – és könnyebben megtalálja a visszautat.”
Liri: „Nem kell bemagolnom, ha értem, miért van így.”
„(a+b)²=a²+2ab+b². (a−b)²=a²−2ab+b². (a+b)(a−b)=a²−b². Mindig az egész zárójelet vesszük kétszer, sosem csak egyenként négyzetre emelünk.”
Amit ma megtanultál
(a+b)²=a²+2ab+b²
Három nevezetes azonosság – előre és visszafelé is alkalmazható
🌟

46. fejezet teljesítve!

Liri már biztosan tudja a zárójeleket mindkét irányban felbontani.

Erklärus jegyzetfüzete – 46. oldal:
„A nevezetes azonosságokat szerkezetként jegyezd meg, ne betűkként: (Első+Második)²=Első²+2·Első·Második+Második². Így más változókkal is felismered őket.”
← Vissza az áttekintéshez 46 – Nevezetes azonosságok