Wie viel passt hinein?

Liri hatte eine kleine quaderförmige Kiste voller Sternenstaub gefunden. „Wie viel Sternenstaub passt da eigentlich rein?"

Erklärus: „Das ist das Volumen. Bei Würfel und Quader ist die Formel ganz einfach – Länge mal Breite mal Höhe."

🔷 Eigenschaften – was einen Würfel und einen Quader ausmacht

Beide Körper gehören zur selben Familie: Grund- und Deckfläche sind parallel und deckungsgleich, und beide haben genau 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.

Würfel · a=a=a Quader · a≠b≠c
Merksatz: „Ein Würfel ist ein Sonderfall des Quaders – genau wie das Quadrat ein Sonderfall des Rechtecks war. Immer wenn a = b = c gilt, wird aus dem Quader ein Würfel."

📐 Die Oberfläche

Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen außen.

Liri: „Wenn ich so eine Kiste anmalen wollte, wie viel Farbe bräuchte ich?"
Erklärus: „Genau die richtige Frage – das ist die Oberfläche. Stell dir vor, du schneidest die Kiste an ihren Kanten auf und faltest sie flach. Dann siehst du ihr Netz."
a² a² a² a² a² a²

Sechs Quadrate, aufgefaltet – jedes davon a² groß.

Erklärus: „Beim Würfel sind alle sechs Flächen gleich groß – jede ein Quadrat mit Fläche a². Beim Quader sind immer zwei gegenüberliegende Flächen gleich groß, aber die drei Flächenpaare unterscheiden sich."
Formel – Oberfläche
O(Würfel) = 6 · a²
O(Quader) = 2 · (a·b + a·c + b·c)
Würfel mit Kante 3 cm – Oberfläche?

📦 Volumen berechnen

Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Beim Quader gibt es Länge, Breite und Höhe.

Liri: „Und wie viel Platz ist in so einer Kiste? So wie bei der Fläche der Fliese, nur jetzt in drei Richtungen?"
Erklärus: „Exakt dieselbe Idee! Stell dir vor, wir bauen einen Quader aus lauter kleinen Einheitswürfeln – jeder genau 1 cm auf jeder Seite. Wie viele passen hinein?"
a = 3 b = 2 c = 2

3 Einheitswürfel lang · 2 tief · 2 hoch = 3 · 2 · 2 = 12 Einheitswürfel

Liri: „Drei nebeneinander, mal eine Reihe tief, mal zwei Schichten übereinander... das ist wieder Länge mal Breite mal Höhe!"
Erklärus: „Genau dasselbe Prinzip wie bei der Fläche – nur jetzt mit einer dritten Richtung. Das Volumen zählt, wie viele Einheitswürfel lückenlos hineinpassen."
Formel – Volumen
V(Würfel) = a · a · a = a³
V(Quader) = a · b · c
Volumen wird in Kubikzentimetern (cm³) oder Kubikmetern (m³) gemessen.
Würfel mit Kante 4 cm – Volumen?
🌌 Räume im Universum

Viele Satelliten sind quaderförmig gebaut – das lässt sich am effizientesten in einer Rakete verstauen.
Ein kleiner Forschungssatellit von 1 m × 1 m × 1 m hat ein Volumen von genau 1 m³.
Ohne Volumenberechnung könnten Ingenieure nicht wissen, wie viel Ausrüstung in einen Satelliten passt.

❌ Häufiger Fehler

Volumen (cm³) und Oberfläche (cm²) werden oft verwechselt – auch die Formeln!

Tipp: Volumen = wie viel reinpasst (3 Maße multipliziert). Oberfläche = wie viel außen bedeckt ist (Flächen addiert).

📦 Aufgabe 1 – Quader-Volumen
Quader: 5 cm × 2 cm × 3 cm. Wie groß ist das Volumen?
🎲 Aufgabe 2 – Würfel-Volumen
Würfel mit Kante 5 cm. Wie groß ist das Volumen?
📐 Aufgabe 3 – Oberfläche
Würfel mit Kante 2 cm. Wie groß ist die Oberfläche?

Die Kiste ist vermessen

Liri wusste jetzt genau, wie viel Sternenstaub in ihre Kiste passte – und wie viel Material nötig wäre, um eine neue zu bauen.

Liri: „Jetzt kann ich sogar berechnen, wie groß mein Zuhause sein müsste, um alles hineinzupacken, was ich unterwegs gesammelt habe."
„Volumen: V(Würfel)=a·a·a, V(Quader)=a·b·c, Einheit cm³. Oberfläche: O(Würfel)=6·a·a, Einheit cm²."
Was du heute gelernt hast
V = a·b·c  ·  O(Würfel) = 6·a²
Volumen in cm³/m³ · Oberfläche in cm²/m²
🌟

Kapitel 29 gemeistert!

Liri kann jetzt Volumen und Oberfläche von Würfeln und Quadern berechnen.

Erklärus' Notizbuch – Seite 29:
„Würfel: V=a·a·a, O=6·a·a. Quader: V=a·b·c. Volumen misst, wie viel reinpasst (cm³). Oberfläche misst, wie viel außen bedeckt ist (cm²)."
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